Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

ciąg geometryczny - podstawy, iloraz ciągu, wzór ogólny, wzór rekurencyjny - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > ciągi > ciąg geometryczny

PODSTAWOWE INFORMACJE


Ciąg geometryczny, to ciąg, którego kolejne wyrazy powstają poprzez mnożenie poprzednich wyrazów przez liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy:

Do pełnego opisu ciągu geometrycznego, oprócz ilorazu, tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego potrzebujemy wartości pierwszego wyrazu ciągu:


Przykład:


Dla danego ciągu iloraz ciągu, czyli liczba przez jaką mnożymy dany wyraz, aby uzyskać następny, wynosi 2, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 3.


Znając iloraz i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu. Tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego, istnieją dwa typy wzorów, jakimi zapisujemy ciąg geometryczny:
- wzór ogólny,

Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać:


- wzór rekurencyjny.

Dla rozpatrywanego przykładu, wzór rekurencyjny będzie miał postać:


Dla ciągu geometrycznego, tak jak dla arytmetycznego, ważniejszy jest wzór ogólny i na nim będziemy opierać rozwiązywanie zadań.
Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego
dziesiąty wyraz.




MONOTONICZNOŚĆ

Ciąg geometryczny nie zawsze jest monotoniczny.

Moglibyśmy przedstawić schemat, według którego bez obliczeń można by ocenić monotoniczność ciągu geometrycznego. Byłby on jednak dość obszerny i trudny do zapamiętania.

Umiejętność określania monotoniczności ciągu geometrycznego ze wzoru nie jest jednak wymagana na poziomie maturalnym podstawowym, więc nie będziemy tego rozpatrywać.

W dość prosty sposób można natomiast ocenić monotoniczność ciągu geometrycznego mając do dyspozycji kilka pierwszych wyrazów ciągu.
Przykład 1.
1, 2, 4, 8, 16 . . .
Powyższy ciąg jest rosnący, bo każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

Przykład 2
2, -6, 18, -54, 162 . . .
Powyższy ciąg nie jest monotoniczny. Kolejne jego wyrazy są na przemian większe i mniejsze.


Powrót do treści | Wróć do menu głównego