Matematyka - od podstaw do matury

TYPY ZADAŃ

Wszelkie zadania związane z ciągiem geometrycznym, sprowadzają się w istocie do obliczenia wartości pierwszego wyrażenia oraz ilorazu.
Tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego, zadania związane z ciągiem geometrycznym możemy podzielić na kilka podstawowych typów, w zależności od danych jakie mamy w zadaniu.

Gdy mamy podany pierwszy wyraz ciągu i jakikolwiek inny wyraz.
W takiej sytuacji musimy jedynie obliczyć iloraz ciągu. Będziemy korzystać ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.
Przykład:
Oblicz jedenasty wyraz ciągu geometrycznego, jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 2, a czwarty ma wartość 54.

UWAGA: Należy uważać na tym etapie rozwiązania. Gdyby wykładnik przy „q” był parzysty (2, 4, 6 …), wtedy mielibyśmy dwa rozwiązania (ujemne i dodatnie) i resztę obliczeń wykonywalibyśmy osobno dla tych dwóch rozwiązań.

Gdy mamy podanych kilka pierwszych wyrazów ciągu.
Mamy więc podany pierwszy wyraz. Musimy jeszcze obliczyć iloraz ciągu. Możemy to zrobić w uproszczony sposób, bez korzystania ze wzoru. By otrzymać iloraz, wystarczy podzielić przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu (przykładowo: drugi wyraz przez pierwszy wyraz).
Przykład:
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego:

Gdy mamy podaną różnicę ciągu i jakikolwiek inny wyraz.
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu, podstawiając różnicę oraz podany w zadaniu wyraz do wzoru ogólnego.
Przykład:
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego różnica wynosi -2, a trzeci wyraz ma wartość -4.

Gdy mamy podane dwa kolejne wyrazy ciągu.
W pierwszej kolejności obliczamy iloraz ciągu, dzieląc przez siebie podane wyrazy. Następnie korzystając ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego, obliczamy wartość pierwszego wyrazu, podstawiając jeden z podanych wyrazów i obliczony iloraz ciągu.
Przykład:
Podaj wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego, którego drugi wyraz wynosi 12, a trzeci ma wartość 48.

Gdy mamy podane dwa oddalone od siebie wyrazy ciągu.
Tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego, mamy dwa sposoby postępowania.
Przykład:
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli jego drugi wyraz ma wartość 1, a szósty ma wartość 81.


SPOSÓB I
Obliczamy pierwszy wyraz i iloraz rozwiązując układ równań. Układ składa się z dwóch równań, jakie powstaną, po podstawieniu osobno do wzoru ogólnego obu wyrazów.

SPOSÓB II
W odróżnieniu od pierwszego sposobu nie będziemy korzystać z układu równań. Rozwiązanie polega na powiązaniu ze sobą dwóch podanych wyrazów.