Matematyka - od podstaw do matury

PODSTAWOWE INFORMACJE

Ciąg arytmetyczny to najprostszy rodzaj ciągu matematycznego.
Jego kolejne wyrazy powstają poprzez dodawanie konkretnej liczby, którą nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy:

Do pełnego opisu ciągu arytmetycznego, oprócz różnicy, potrzebujemy wartości pierwszego wyrazu ciągu:

Przykład:

Dla danego ciągu różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami, czyli liczba jaką dodajemy by uzyskać następny wyraz, wynosi 3, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 2.

Znając różnicę i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu. Istnieją dwa typy wzorów, jakimi zapisujemy ciąg arytmetyczny:

- wzór ogólny

Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać:


- wzór rekurencyjny.

Dla rozpatrywanego przykładu, wzór rekurencyjny będzie miał postać:


Spośród tych dwóch rodzajów wzorów, ważniejszy jest wzór ogólny. Z tego wzoru będziemy korzystać, chcąc obliczyć jakikolwiek wyraz ciągu.
Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego czterdziesty wyraz.

Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny jest zawsze monotoniczny. W celu oceny jego monotoniczności nie są konieczne żadne obliczenia. Jedyną potrzebną informacją jest różnica ciągu (r):
- ciąg jest rosnący, gdy różnica jest dodatnia (r > 0),
- ciąg jest malejący, gdy różnica jest ujemna (r < 0),
- ciąg jest stały, gdy różnica wynosi zero (r = 0).

W rozpatrywanym przez nas przykładzie, różnica wynosi 3, jest więc dodatnia. Ciąg jest rosnący.