Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

dziedzina i zbiór wartości funkcji - wyznaczanie dziedziny funkcji - funkcje - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > funkcje

DZIEDZINA I ZBIÓR WARTOŚCI
Matematyka – matura - funkcje: własności funkcji, dziedzina i zbiór wartości funkcji


Dziedzina
Dziedzina, czyli zbiór argumentów, może być ograniczona. To znaczy, że nie musi stanowić zbioru liczb rzeczywistych (wszystkich liczb). Sposób zapisu zakresu liczb należących do dziedziny, przedstawiliśmy w poprzednim podrozdziale. Dziedzina może być ograniczona do jakiegoś zakresu liczb (zbioru lub przedziału). Często podany jest jedynie wzór funkcji i do nas należy sprawdzenie, czy do dziedziny należą wszystkie liczby, czy należy ograniczyć ją do jakiegoś zakresu.

Dziedzina określana za pomocą wzoru będzie ograniczona w dwóch przypadkach:

- gdy we wzorze pojawiają się pierwiastki parzystego stopnia (drugiego, czwartego…).
Ponieważ pod pierwiastkiem parzystego stopnia, nie mogą pojawiać się liczby ujemne, należy zapisać, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero, a następnie rozwiązać otrzymaną nierówność.
Przykład:


Wynik nierówności to przedział, który jest dziedziną naszej funkcji.


- gdy zmienna „x” pojawia się w mianowniku jakiegoś ułamka.
Tu także istniej matematyczne ograniczenie. W mianowniku ułamka, nie może znajdować się liczba zero (ponieważ nie można dzielić przez zero). Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera. Zapisujemy więc równanie z przekreślonym znakiem równości, co ma oznaczać, że dane wyrażenie ma być różne od zera.
Przykład:


Interpretujemy otrzymany wynik. Oznacza on, że z dziedziny należy wykluczyć otrzymaną liczbę. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych minus zbiór jednoelementowy, zawierający otrzymaną liczbę.


We wzorze funkcji mogą pojawić się oba ograniczenia jednocześnie.
W takim przypadku, każde ograniczenie należy rozpatrzyć osobno. Dziedzina będzie częścią wspólną otrzymanych przedziałów i zbiorów.
Przykład:




Zbiór wartości


Zbiór wartość jest ściśle uzależniony od dziedziny. Wyróżniamy dwa podstawowe przypadki:

- gdy dziedzina jest ograniczona przedziałem;
Zbiór wartości może należeć do liczb rzeczywistych lub stanowić przedział. W takim przypadku określanie zbioru wartości funkcji, jest specyficzne dla każdego rodzaju funkcji. Do tej pory poznaliśmy tylko podstawowy rodzaj funkcji – funkcję liniową.
Wyznaczanie zbioru wartości dla funkcji liniowej jest dość proste: gdy dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych, zbiór wartości także będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Gdy dziedzina jest przedziałem, zbiór wartości wyznaczamy obliczając granice przedziału, podstawiając do wzoru granicę dziedziny.
Przykład:

- gdy dziedzina należy do zbioru.
Zbiór wartości określamy zawsze tak samo, niezależnie od rodzaju funkcji. Musimy obliczyć wartości funkcji dla wszystkich argumentów, podstawiając do wzoru.
Przykład:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)


Powrót do treści | Wróć do menu głównego