Matematyka - od podstaw do matury

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE
Matematyka – matura - funkcja kwadratowa: nierówności kwadratowe

Nierówności kwadratowe rozwiązujemy w dwóch etapach. Pełne rozwiązanie przedstawimy na przykładzie:


Pierwszy etap to wyznaczenie miejsc zerowych, tak jakbyśmy rozwiązywali równanie kwadratowe.

Drugi etap, to zaznaczenie rozwiązania na osi i odczytanie przedziałów.
1) Rysujemy oś i zaznaczamy na niej miejsca zerowe (kropki mogą być zakolorowane lub nie, co zależy od znaku nierówności).

2) Rysujemy parabolę – bardzo przybliżony szkic. Istoty jest jedynie kierunek ramion paraboli.

3) Zakreślamy odpowiedni obszar.
Ten krok często sprawia wiele trudności.
Zacznijmy od tego, że parabola może mieć dwie postaci (ramiona skierowane w dół lub w górę). Na poniższych rysunkach zaznaczyliśmy obszary dodatnie (niebieski kolor) oraz ujemne (żółty kolor) dla obu przypadków:

Gdy mamy znak nierówności „mniejszy” (<) lub „mniejszy lub równy” ( ), zakreślamy obszar ujemny.
Gdy mamy znak nierówności „większy” (>) lub „większy lub równy” ( ), zakreślamy obszar dodatni.

W rozpatrywanym przez nas przykładzie mamy do czynienia ze znakiem: , dlatego zakreślimy obszar dodatni:

4) Odczytujemy rozwiązanie. Są nim przedział lub przedziały wyznaczone przez zakreślony obszar.


Gdyby znak nierówności był skierowany w drugą stronę ( ), wtedy zakolorowany byłby obszar ujemny i rozwiązaniem byłby jeden przedział:

Inne przypadki nierówności
Większość nierówności, z jakimi będziecie mieli do czynienia, to przypadki z dwoma miejscami zerowymi.
Równania kwadratowe mogą mieć również jedno miejsce zerowe lub wcale.
Przeanalizujemy wszystkie ewentualności, jakie mogą się pojawić, dla wszystkich czterech znaków nierówności.

Z jednym miejscem zerowym
- gdy ramiona paraboli są skierowane w górę,
Przykłady:

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. Cała parabola znajduje się nad osią, czyli w obszarze dodatnim, oprócz miejsca zerowego. Znak nierówności (większe lub równe) sprawia, że miejsce zerowe także należy do rozwiązania.

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych, wyłączając jedną liczbę (tu liczbę: -2). Cała parabola znajduje się w obszarze dodatnim (nad osią), oprócz jednego punktu dla x = -2, który znajduje się na osi, co oznacza, że ma wartość 0. Ponieważ rozwiązaniem mają być wyłącznie wartości większe od zera, liczba -2 do niego nie należy.

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest jedna liczba (tu liczba: -2). Ze względu na znak nierówności rozwiązaniem mają być wartości mniejsze lub równe zero (czyli części paraboli znajdujące się pod osią lub na osi). Tylko jedna liczba spełnia ten warunek (-2).

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór pusty. Nie ma liczby dla której istnieją punkty paraboli pod osią (punkt na osi się nie liczy, ponieważ rozwiązaniem mają być wyłącznie wartości mniejsze od zera, a dla tego punktu wartość wynosi zero).

- gdy ramiona paraboli są skierowane w dół.
Przykłady:

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest jedna liczba (tu liczba: -2). Ze względu na znak nierówności rozwiązaniem mają być wartości większe lub równe zero (czyli części paraboli znajdujące się nad osią lub na osi). Tylko jedna liczba spełnia ten warunek (-2).

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór pust. Nie ma liczby dla której istnieją punkty paraboli nad osią (punkt na osi się nie liczy, ponieważ rozwiązaniem mają być wyłącznie wartości większe od zera, a dla punktu na osi wartość wynosi zero).

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. Cała parabola znajduje się pod osią, czyli w obszarze ujemnym, oprócz miejsca zerowego. Wartości mają być mniejsze lub równe zero, co sprawia, że punkt dla którego wartość wynosi zero (-2), także należy do rozwiązania.

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych, wyłączając jedną liczbę (tu liczbę: -2). Cała parabola znajduje się w obszarze ujemnym (pod osią), oprócz jednego punktu dla x = -2, który znajduje się na osi, co oznacza, że ma wartość 0. Ponieważ rozwiązaniem mają być wyłącznie wartości mniejsze od zera, liczba -2 do niego nie należy.

Bez miejsc zerowych
- gdy ramiona paraboli są skierowane w górę,
Przykłady:

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór pusty. Cała parabola znajduje się w obszarze dodatnim.

Znak nierówności

Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. Cała parabola znajduje się w obszarze dodatnim.

- gdy ramiona paraboli są skierowane w dół.
Przykłady:

Znak nierówności


Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. Cała parabola znajduje się w obszarze ujemnym.

Znak nierówności


Rozwiązaniem jest zbiór pusty. Cała parabola znajduje się w obszarze ujemnym.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)