Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

nierówności z wartością bezwzględną - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > wartość bezwzględna

NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ
Matematyka – matura - wartość bezwzględna: nierówności z wartością bezwzględną


Podobnie jak w przypadku równań z wartością bezwzględną, mamy dwa sposoby rozwiązywania. Pierwszy do „prostych” nierówności i drugi do wszelkiego rodzaju nierówności.

Przykład nierówności z wartością bezwzględną:


Proste nierówności
Podejście jest bardzo podobne, jak w przypadku prostych równań. Zamiast odczytania dwóch liczb z osi, należy zaznaczyć przedział lub przedziały i je odczytać. Do momentu ustalenia dwóch liczb postępujemy tak samo jak w wypadku równań.
Przykład 1.


Metoda opiera się na trzech krokach.
I.
Rysujemy oś liczbową i zaznaczmy na niej liczbę zawartą w wyrażeniu umieszczonym w wartości bezwzględnej, ale ze zmienionym znakiem.


II. Szukamy dwóch liczb, których odległość od zaznaczonej na osi liczby, równa się wartości po prawej stronie równania.



III. Zaznaczamy przedział lub przedziały. Mamy dwie możliwości:
- gdy znak nierówność jest skierowany w prawo (>), to zaznaczmy dwa przedziały: od minus nieskończoność do pierwszej liczby oraz od drugiej liczby do nieskończoności;
- gdy znak nierówności jest skierowany w lewo (<), to zaznaczamy jeden przedział, łączący dwie wyznaczone liczby.



IV. Odczytujemy przedział lub przedziały.



Przykład 2.
To zmieniony przykład pierwszy – zmieniliśmy kierunek znaku nierówności (teraz jest skierowany w lewo).


Różnica, w porównaniu do pierwszego przykładu, pojawia się dopiero w momencie zaznaczania przedziału na osi (krok III) i od tego momentu zaczniemy przedstawiać przykład.

III. Zaznaczamy przedział lub przedziały.
Tu mamy do czynienia z drugą ewentualnością:
- gdy
znak nierówności jest skierowany w lewo, to zaznaczamy jeden przedział, łączący dwie wyznaczone liczby.



III. Odczytujemy przedział lub przedziały.





METODA OBLICZENIOWA – zarówno dla prostszych jak i trudniejszych przypadków.

Metodę obliczeniową przedstawimy na przykładzie:


Metoda polega na rozwiązaniu dwóch nierówności. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które zaznaczamy na osi liczbowej.

- pierwsza nierówność jest identyczna z pierwotną. Pomijamy jedynie znak wartości bezwzględnej.

- druga nierówność, zawiera dwie różnice. Oprócz usunięcia znaku wartości bezwzględnej, zmieniamy znak liczby znajdującej się po prawej stronie i obracamy znak nierówności.


Zaznaczamy przedział lub przedziały.
Odbywa się to na tej samej zasadzie, jak w przypadku metody dla prostszych przykładów. Zaznaczamy uzyskane liczby na osi, a następnie zaznaczamy przedział lub przedziały, zgodnie z przedstawioną wcześniej regułą (dwa przedziały gdy znak nierówności jest skierowany w prawo; jeden przedział, gdy znak nierówności jest skierowany w lewo).



Odczytujemy przedział lub przedziały.



SPECYFICZNE PRZYPADKI – gdy nie możemy rozwiązać nierówności tradycyjnie

Podobnie jak w przypadku równań, „specyficzne przypadki” nierówności możemy podzielić na dwa rodzaje:

-nierówności, w których po prawej stronie znajduje się zero,
W przypadku nierówności oprócz obecności zera po prawej stronie, ważny jest również znak nierówności. Możemy wyróżnić cztery przypadki, w zależności od postaci znaku nierówności:


Przykład:


Z wartości bezwzględnej nigdy nie otrzymamy liczby mniejszej od zera, ale możemy otrzymać liczbę równą zero. Rozwiązanie sprowadza się do obliczenia jednego równania.
Przepisujemy nierówność, opuszczając wartość bezwzględną, zamieniając znak nierówności na znak równa się i obliczamy.




Przykład:

Z wartości bezwzględnej nigdy nie otrzymamy liczby mniejszej od zera. Rozwiązaniem jest więc zbiór pusty.




Przykład:

Obliczając wartość bezwzględną zawsze otrzymamy liczbę większą od zera lub równą zero. Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych




Przykład:

Obliczając wartość bezwzględną zawsze otrzymamy liczbę większą od zera lub równą zero. Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych, oprócz liczby, która w efekcie dałaby nam wartość równą zero. Zapisujemy więc:




- nierówności, w których po prawej stronie znajduje się liczba ujemna.
Istnieją dwa różne przypadki, w zależności zwrotu znaku nierówności:


Przykład:

Z wartości bezwzględnej nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej, a więc mniejszej od jakiejkolwiek liczby ujemnej. Rozwiązaniem jest zbiór pusty.





Przykład:

Obliczając wartość bezwzględną, zawsze otrzymamy liczbę dodatnią, a więc większą od liczby ujemnej. Rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)


Powrót do treści | Wróć do menu głównego