Matematyka - od podstaw do matury

WŁASNOŚCI FUNKCJI ODCZYTYWANE Z WYKRESU
Matematyka – matura - funkcje: własności funkcji odczytywane z wykresu

Mając do czynienia z wykresem funkcji, powinniśmy potrafić określić:
- dziedzinę funkcji,
- zbiór wartości,
- przedziały monotoniczności,
- miejsce zerowe,
- punkty przecięcia z osiami,
- argumenty dla których funkcja jest dodatnia/ujemna,
- argumenty dla których funkcja przyjmuje daną wartość,
- argumenty dla których funkcja spełnia daną nierówność,
- sprawdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcji,
- minimum i maksimum.
Ocenę niektórych z powyżej wymienionych własności przedstawiliśmy w dziale „podstawy” (PODSTAWY – funkcje – własności funkcji liniowej), ale wyłącznie dla funkcji liniowej. Przedstawimy, jak wygląda to dla innych funkcji:

Określanie własności funkcji przedstawimy na przykładzie:

Dziedzina funkcji
Dziedzina jest zbiorem argumentów. Określamy ją biorąc pod uwagę, w jakim zakresie przedstawiony wykres „rozciąga się” wzdłuż osi OX:



Dziedziną jest przedział lub przedziały, w jakich rozciąga się wykres (wzdłuż osi 0X):

Zbiór wartości
Zbiór wartości stanowi przedział lub przedziały liczb, w jakim „rozciąga się” wykres wzdłuż osi OY:




Zbiorem wartości jest przedział lub przedziały, w jakich rozciąga się wykres (wzdłuż osi 0Y):

Przedziały monotoniczności
Zapisujemy przedziały, w których funkcja jest malejąca, rosnąca i stała. Nawiasy dla argumentów granicznych, w których funkcja zmienia swoją monotoniczność są trójkątne:

Zapis przedziałów monotoniczności:

Miejsce zerowe
Miejsce zerowe, to argument (x), dla którego wartość (y) wynosi zero. Określenie miejsca zerowego, sprowadza się do odczytania argumentów (x) w punktach, w których wykres przecina oś odciętych (oś 0X).



Przyjęło się, że:
- gdy mamy jedno miejsce zerowe oznaczamy je indeksem zero: x0,
- gdy mamy więcej miejsc zerowych (tak jak w rozpatrywanym przykładzie) oznaczmy je kolejnymi liczbami naturalnymi i łączymy spójnikiem „lub” (v), czyli: x1 v x2 v x3 . . .
Dla przykładu zapisujemy:

Punkty przecięcia z osiami
Osobno zapisujemy punkty przecięcia z osią 0X i punkt przecięcia z osią 0Y (zawsze jest tylko jeden).
Punkty przecięcia z osią 0X znajdują się w miejscach zerowych, opisanych w poprzednim punkcie. Punkt przecięcia z osią 0Y znajduje się w miejscu, w którym wykres przecina oś 0Y.



Zapisujemy:
Punkty przecięcia z osią 0X:

Punkt przecięcia z osią 0Y:

Argumenty dla których funkcja jest dodatnia/ujemna
Argumenty dla których funkcja jest dodatnia: f(x) > 0
Są to przedziały argumentów (x), tych części wykresu, które znajdują się nad osią 0X.



Zapisujemy przedziały. Nawiasy przy punktach leżących na osi 0X, będą okrągłe, ponieważ w tych punktach wartość funkcji wynosi zero, a chodzi nam o wartości dodatnie (wyłącznie większe od zera).



Argumenty dla których funkcja jest ujemna: f(x) < 0
Są to przedziały argumentów (x), tych części wykresu, które znajdują się pod osią 0X.



Zapisujemy przedziały. Tak jak w wypadku wartości dodatnich, dla punktów na osi 0X nawiasy zawsze będą okrągłe.

Argumenty dla których funkcja przyjmuje daną wartość
W zależności od podanej wartości, rozwiązaniem może być jednym argumentem, kilka argumentów, przedziałem argumentów, jak również może się okazać, że dla danej wartości nie ma rozwiązań. Zilustrujemy to na czterech przykładach:






Odczytujemy z wykresu argumenty (x), dla których wartości (y) są równe danej liczbie. Można sobie to ułatwić przykładając poziomo linijkę na danej wysokości (czyli dla danej wartości). My narysowaliśmy na tych wysokościach poziome przerywane linie.
Następnie zapisujemy rozwiązania poszczególnych równań – czyli argumenty (x) punktów wykresu, znajdujących się na poziomych, przerywanych liniach pomocniczych:

Argumenty dla których funkcja spełnia daną nierówność
Postępujemy podobnie, jak w wypadku określania argumentów, dla których funkcja jest dodatnia lub ujemna. Punktem odniesienia nie jest już jednak oś 0X, ale pozioma prosta znajdująca się na wysokości, zgodnej z wartością podaną w nierówności. Należy zwrócić ponadto uwagę na znak nierówności. Co mamy na myśli, przedstawimy porównując dwie bardzo podobne nierówności:


Pomocniczo możemy narysować poziomą prostą na wysokości -2 lub przyłożyć w tym miejscu linijkę.



W pierwszym przypadku, mamy znak nierówności – „mniejsze”, w drugim „mniejsze lub równe”.
Gdy wartości mają być tylko mniejsze, w przypadku argumentów punktów granicznych ( 0 oraz 8) nawiasy będą okrągłe. Gdy wartości mają być mniejsze lub równe, oznacza to, że punkty graniczne także należą do rozwiązania, dlatego nawiasy przy argumentach tych punktów w przedziałach będą trójkątne.

Sprawdzenie czy dany punkt należy do wykresu funkcji
Wystarczy odnaleźć dany punkt w układzie współrzędnych i określić, czy leży na liniach wykresu, czy nie.
Przykłady:
Punkty: A=(-2, 4), B=(6, 2)



Punkt A nie należy do wykresu funkcji.
Punkt B należy do wykresu funkcji.

Minimum i maksimum
Minimalną wartość funkcji oznaczamy: f(x)min lub ymin. Maksymalną wartości oznaczamy: f(x)max lub ymax. Wartość maksymalna to wartość (y) najwyżej leżącego punktu wykresu, a minimalna punktu leżącego najniżej. Dodatkowo, oprócz samej wartości wypada podać argument (x) lub przedział argumentów, dla odczytanej wartości. Jeżeli maksimum lub minimum funkcji wypada w punkcie, w którym znajduje się pusta kropka, minimum lub maksimum nie istnieje.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)