Matematyka - od podstaw do matury

RODZAJE ZADAŃ

Na podstawie wzoru ciągu, oprócz określenia jego monotoniczności (poprzedni podrozdział), powinniśmy potrafić odpowiedzieć na kilka podstawowych pytań:

1) Czy istnieje dany wyraz ciągu?
2) Który wyraz ciągu przyjmuje daną wartość?
3) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość dodatnią/ujemną?
4) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość większą/mniejszą od danej liczby?

Odpowiedź na każde z powyższych pytań wymaga w zasadzie rozwiązania konkretnego równania/nierówności. Mogą to być równania różnego typu, co uzależnione jest od wzoru ciągu (liniowe, kwadratowe, wykładnicze …). Wszystkie typy przedstawiliśmy w poprzednich rozdziałach.
Dla przedstawienia, jak dokładnie się to odbywa, przedstawimy cztery przykłady, odpowiadające czterem przedstawionym powyżej pytaniom.

1) Czy istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym o wartości 2?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, podstawiamy do wzoru wartość 2 (uwaga: wartość konkretnego wyrazu to an), a następnie rozwiązujemy powstałe równanie. Obliczamy w ten sposób „n” (numer wyrazu).
Dla przykładu:

Po rozwiązaniu równania interpretujemy wynik. Kluczowym jest fakt, że „n” przyjmuje wartości naturalne (1, 2, 3..). Jeżeli otrzymamy inny wynik, oznacza to, że nie ma takiego wyrazu ciągu.

Odpowiedź: Nie istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym an= 3n – 5 o wartości 2.

równania

2) Który wyraz ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość -10?
Podobnie jak w przypadku poprzedniego pytania podstawiamy do wzoru daną wartość (-10) i obliczamy „n”(numer wyrazu).

Odpowiedź: Wartość -10 przyjmuje czwarty wyraz ciągu.

równania kwadratowe

3) Ile wyrazów ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość ujemną?
W przeciwieństwie do dwóch poprzednich pytań, nie mamy do czynienia z konkretną wartością. Wartość ma być ujemna, czyli mniejsza od zera. Szukamy takich „n” dla których po podstawieniu do wzoru ciągu otrzymamy wartość mniejszą od zera. Będziemy mieć do czynienia z nierównością:

Interpretujemy wynik. Chodzi o wyrazy o numerze mniejszym od 7,5 (pamiętajmy: muszą to być liczby naturalne), czyli wyrazy o numerach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mamy więc siedem takich wyrazów.
Odpowiedź: Wartości ujemne przyjmuje siedem wyrazów ciągu.

nierówności

4) Które wyrazy ciągu o wzorze ogólnym przyjmują wartość większą lub równą 8?
Tutaj, tak jak w poprzednim typie, będziemy mieli do czynienia z nierównością. W tym wypadku wartość nie ma być większa/mniejsza od zera, ale od innej liczby. Należy także zwrócić uwagę na sformułowanie dotyczące znaku nierówności – tutaj chodzi o wartość większą lub równą 8, a więc będziemy mieli do czynienia ze znakiem większa lub równa ().


Odpowiedź: Dany ciąg nie ma wyrazów o wartości większej lub równej 8.

nierówności kwadratowe