Matematyka - od podstaw do matury

RÓWNANIA
Matematyka – matura - logarytmy: równania logarytmiczne

Rozwiązanie równania z logarytmem, sprowadza się przede wszystkim, do usunięcia z nich logarytmu (choć równania pierwszego typu możemy rozwiązać w alternatywny – prostszy sposób).
Przykład:

Powyższe równanie przekształcamy zgodnie z istotą logarytmu:

Dopiero, gdy mamy równanie w takiej formie, możemy je rozwiązać.

Możemy wyróżnić trzy typy równań z logarytmem, w zależności od tego, w którym miejscu znajduje się niewiadoma (x).

TYP I –niewiadoma znajduje się w wyniku logarytmowania.
W takiej sytuacji, po usunięciu logarytmu, niewiadoma będzie znajdować się w wykładniku potęgi.
Otrzymujemy więc równanie wykładnicze (równania wykładnicze). Przypomnimy na przykładzie sposób ich rozwiązywania.
Przykład:


Rozwiązanie tego typu równania wymaga otrzymania po prawej stronie równania tej samej liczby, jaka znajduje się w podstawie po lewej.



Należy zapisać po prawej stronie wymaganą wartość, podniesioną do określonej potęgi, tak aby wartość potęgowania była równa liczbie, jaką mieliśmy wcześniej.



Gdy mamy takie same podstawy po obu stronach, w dalszej części rozwiązania możemy je pominąć – przyrównujemy do siebie jedynie wykładniki potęg:

Alternatywny sposób – tylko w równaniach tego typu.
Tu nie musimy przekształcać równania, usuwając logarytmowanie. Możemy po prostu je wykonać:

TYP II –niewiadoma znajduje się w podstawie logarytmu.
Po usunięciu logarytmu, niewiadoma będzie znajdować się w podstawie potęgi. Otrzymujemy więc równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe.
UWAGA: W tym typie równania należy na początku określić dziedzinę, ponieważ podstawa logarytmu musi być większa od zera oraz różna od 1.
Przykład:


Rozwiązujemy równanie:

Sprawdzamy czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Tu należy, a więc jest to ostateczne rozwiązanie równania.

TYP III– niewiadoma znajduje się w wielkości logarytmowanej.
Po usunięciu logarytmu, niewiadoma będzie znajdować się po prawej stronie równania. W ten sposób powstaje zwykłe równanie liniowe.
UWAGA: W tym typie równania także należy na początku określić dziedzinę, ponieważ liczba logarytmowana musi być większa od zera.
Przykład:



Rozwiązujemy równanie:

Sprawdzamy czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Tu należy, a więc jest to ostateczne rozwiązanie równania.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)