Matematyka - od podstaw do matury

RÓWNANIE OKRĘGU
Matematyka – matura - geometria analityczna (funkcja liniowa): równanie okręgu, postać ogólna i kanoniczna

Równanie okręgu przedstawia się wzorem.

(POSTAĆ KANONICZNA)


Przykład:

W podanym wzorze, poszczególne wielkości (a, b i r), decydują o miejscu okręgu w układzie współrzędnych i jego wielkości:

Środek okręgu
Ma współrzędne:



UWAGA: Ponieważ we wzorze kanonicznym okręgu przed współczynnikami a i b znajduje się znak minus, współrzędne środka w efekcie będą miały przeciwne znaki.
Dla przedstawionego przykładu:

Promień okręgu
Promień okręgu wskazuje współczynnik r. Uważajmy jednak, bo wartość po prawej stronie równania okręgu, to nie promień sam w sobie, ale promień podniesiony do kwadratu.
W podanym przykładzie:
Po prawej stronie znajduje się wartość 9, co oznacza, że promień do kwadratu wynosi 9. Aby uzyskać promień, należy więc tę wartość spierwiastkować:

WYKRES
Wykres okręgu powstaje w dość prosty sposób. Oczywiście potrzebujemy do pomocy cyrkiel.
W pierwszej kolejność zaznaczamy w układzie współrzędnych środek okręgu.

Następnie rozwieramy nóżki cyrkla zgodnie z wartością promienia (tu na odległość 3 jednostek) i szkicujemy okrąg.

ZADANIA
Zadania związane z równaniem okręgu, polegają głównie na otrzymaniu pełnego równania.

Najprostsze to takie, w których wystarczy podstawić do wzoru kanonicznego wszystkie wielkości.
Przykład:
Podaj równanie okręgu o środku w punkcie S = (-3, 5) i promieniu: 6j.

W tego typu zadaniu wystarczy podstawić wszystkie wielkości do wzoru:


Pamiętajmy:
- podstawiając współrzędne środka zmieniamy znaki:



we wzorze znajduje się promień podniesiony do kwadratu:

Trudniejsze są zadania, w których niektóre wielkości musimy obliczyć.
Przykład:
Podaj wzór okręgu o środku w punkcie S=(-1, -6), jeżeli przechodzi przez punkt A=(-5, -3)

W tym miejscu mamy dane współrzędne środka okręgu, które już możemy podstawić do wzoru:


Aby zapisać wzór okręgu brakuje nam wartości promienia. Możemy go obliczyć podstawiając podany punkt do wzoru.

RÓWNANIE OKRĘGU – POSTAĆ OGÓLNA

Postać ogólna jest zdecydowanie mniej „przyjazna” od postaci kanonicznej. Gdy mamy z nią do czynienia, w pierwszej kolejności przekształcamy równanie do postaci kanonicznej, którą przedstawiliśmy wcześniej.

POSTAĆ OGÓLNA:

Przykład:



Zamiana na postać kanoniczną
Aby zapisać dane równanie za pomocą postaci kanonicznej, należy obliczyć trzy wielkości występujące w tej postaci, czyli a, b oraz r.

1) W pierwszej kolejności obliczamy a i b, zgodnie z równościami:
-2a = liczba „przed” x,
-2b = liczba „przed” y.

Dla przykładu:

2) Obliczamy r zgodnie ze wzorem:

Dla przykładu:

2) Zapisujemy wzór za pomocą postaci kanonicznej:
Podstawiamy a, b oraz r do wzoru.


Dla przykładu:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)