Matematyka - od podstaw do matury

WEKTOR W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
Matematyka – matura - funkcje: wektor w układzie współrzędnych, wektor zaczepiony i swobodny, przesuwanie punktu o dany wektor

Wektor w układzie współrzędnych rysujemy jako strzałkę.
Ma trzy parametry, które będą nas interesować: początek (punkt zaczepienia), koniec (punkt końcowy), kierunek i zwrot, wartość (długość).

Punkt zaczepienia oraz punkt końcowy, to dwa punkty o określonych współrzędnych.
Przykładowo: punkt zaczepienia: A = (-2, 2); punkt końcowy: B = (-5, 6).
Mając dane oba punkty, możemy nanieść wektor w układzie współrzędnych. Przy punkcie końcowym (B) rysujemy grot strzałki, który wskazuje kierunek i zwrot wektora.

Kierunek i zwrot wynikają bezpośrednio z punktu początkowego i końcowego.
Zapis kierunku i zwrotu składa się z dwóch liczb, zapisanych w kwadratowym nawiasie. Są to tak zwane współrzędne przesunięcia. Określają one, o ile jednostek i w którą stronę należy wykonać przesunięcie w poziomie i w pionie, aby z punktu zaczepienia (A) „dojść” do punktu końcowego (B). Zapisując współrzędne przesunięcia wektora, wektor oznaczamy symbolem złożonym z jednej litery (przyjęło się oznaczać wektor literą „u”, ale może to być jakakolwiek inna litera) lub dwóch dużych liter, stanowiących końce wektora (tu litery A oraz B). Ponadto nad literą lub parą liter zapisujemy poziomą strzałkę.
Przykłady:
Pierwsza liczba, zapisana w kwadratowym nawiasie, oznacza przesunięcie wzdłuż osi 0X (czyli w poziomie), druga liczba przesunięcie wzdłuż osi 0Y (czyli w pionie).
Dla rozpatrywanego przykładu zapisujemy:



Aby wyznaczyć kierunek i zwrot wektora (współrzędne przesunięcia), nie jest konieczne rysowanie go w układzie współrzędnych i określanie o ile jednostek należy przesunąć się z punktu zaczepienia do końcowego w poziomie i w pionie.
Wystarczą współrzędne punktów początku i końca wektora. Kierunek i zwrot możemy obliczyć ze wzoru:



Dla rozpatrywanego przykładu, gdzie:

Długość wektora
Aby obliczyć długość wektora, należy potraktować go jak odcinek o podanych końcach (A oraz B) i skorzystać ze wzoru na długość odcinka, który został przedstawiony w dziale „podstawy” (PODSTAWY – figury płaskie (2) – twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych).

Zadania
Zadanie oparte na wektorach, zazwyczaj wymagają wykorzystania przedstawionych wzorów (na kierunek i zwrot, czyli współrzędne przesunięcia oraz długość wektora). Za ich pomocą, mając dane kilka informacji o wektorze, możemy obliczyć pozostałe. Wykorzystanie wzorów w ten sposób, przedstawimy na przykładzie.
Przykład:
Podaj współrzędne końca wektora, o punkcie zaczepienia A = (-3, 8), jeżeli :



Współrzędne punku B wynoszą: B = (-7, 20).

Wektor zaczepiony a wektor swobodny
Wektory, które przedstawione zostały dotychczas, to wektory zaczepione. Są to wektory, które znajdują się w określonym miejscu w układzie współrzędnych. Znamy współrzędne ich początków i końców (lub istnieje możliwość ich obliczenia).
Istnieją jednak wektory swobodne. Ich cechami są kierunek i zwrot (współrzędne przesunięcia) oraz długość. Brak punktu zaczepienia i punktu końca. Wektor swobodny reprezentuje więc nieskończenie wiele wektorów, jakie moglibyśmy nanieść w układzie współrzędnych w różnych miejscach.
Wektor swobodny pojawia się w zadaniach, w których miejsce jego umieszczenia w układzie współrzędnych, nie ma znaczenia (w ogóle nie będziemy go rysować). Są to zadania, w których mamy przesunąć o dany wektor jakiś obiekt w układzie współrzędnych.

Przesunięcie punktu o dany wektor
Dany punkt możemy przesunąć o wektor zarówno sposobem graficznym w układzie współrzędnych, jak i obliczając współrzędne punktu, jaki otrzymamy po dokonaniu przesunięcia.

Metoda graficzna polega na przesunięciu punktu w poziomie i pionie o liczbę jednostek, określonych poprzez wektor.

Metoda obliczeniowa polega na dodaniu do współrzędnych danego punktu, współrzędnych przesunięcia wektora: Mając dany punkt: A = (xA, yA) i wektor:
u = [x, y], obliczamy punkt jaki powstanie (A’), po przesunięci zgodnie z wzorem:



Oba sposoby przedstawimy na przykładzie:
Podaj współrzędne punktu, jaki otrzymamy po przesunięciu punkt A(-1, 4), o wektor:
u = [5, -6].

Metoda graficzna:

Metoda obliczeniowa

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)