Matematyka - od podstaw do matury

WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Przerobienie tego podrozdziału wymaga przypomnienia sobie działań na zbiorach (MATERIAŁ MATURALNY – zbiory i przedziały – działania na zbiorach).
Własności prawdopodobieństwa to opisane wzorami zależności, jakie powstają między prawdopodobieństwami zdarzeń losowych.
Przedstawimy je dla dwóch zdarzeń losowych, oznaczonych literami A i B.

Zdarzenia przeciwne
Zdarzenie przeciwne do danego obejmuje wszystkie zdarzenia elementarne, jakich nie obejmuje dane zdarzenie. Dwa zdarzenia do siebie przeciwne tworzą razem przestrzeń zdarzeń elementarnych (wszystkich zdarzeń).
Zdarzenie przeciwne oznaczamy tą samą literą co dane zdarzenie, ale ze znakiem prim.
A – dane zdarzenie
A’– zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.
Przykładowo:
W doświadczeniu polegającym na rzucie kostką zdarzenie losowe A polega na wyrzuceniu liczby 1 lub 2.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A będzie zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu jednej z liczb: 3, 4, 5, 6.

Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych wynosi 1:

Stąd mamy wzór na wartość prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do danego:

Przykład:
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wynosi 1/3 .Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

Prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń
Częścią wspólną zdarzeń losowych jest zbiór zdarzeń elementarnych, które spełniają oba zdarzenia jednocześnie. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, należy ten zbiór wyznaczyć.
Przykład:
Losujemy kulę ze zbioru 14 ponumerowanych kul. Zdarzenie losowe A polega na wylosowaniu kuli o numerze parzystym. Zdarzenie losowe B polega na wylosowaniu kuli o numerze większym lub równym 8. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia, stanowiącego część wspólną zdarzeń A i B.

Część wspólną obu zdarzeń można sprecyzować słownie, łącząc warunki obu zdarzeń:
(wylosowanie kuli parzystej, większej lub równej 8) i wypisanie elementów spełniających stworzony opis.
Drugim podejściem jest wypisanie elementów zbiorów obu zdarzeń losowych (tak jak zrobiliśmy to powyżej), a następnie wypisanie części wspólnej, tak jakbyśmy działali na zbiorach.

Niezależnie od podejścia otrzymamy ten sam efekt:


Prawdopodobieństwo obliczamy tak jak zawsze, dzieląc liczbę zdarzeń danego zdarzenia losowego, czyli otrzymanej części wspólnej zdarzeń, przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

Zdarzenia wykluczające się
To zdarzenia, które nie mają części wspólnej.
Przykład:
Wybieramy losowo literę alfabetu spośród liter: a, b, c, d, e , f, g, h. Zdarzenie losowe A polega na wylosowaniu samogłoski, a zdarzenie losowe B, na wylosowaniu litery g lub h.


Zdarzenia nie mają żadnego wspólnego zdarzenia elementarnego, a więc wykluczają się.
Prawdopodobieństwo części wspólnej dwóch wykluczających się zdarzeń wynosi 0.

Suma prawdopodobieństw zdarzeń
Sumę prawdopodobieństw dwóch zdarzeń obliczamy ze wzoru:



Dla wcześniej przedstawionego przykładu:
Losujemy kulę ze zbioru 14 ponumerowanych kul. Zdarzenie losowe A, polega na wylosowaniu kuli o numerze parzystym. Zdarzenie losowe B polega na wylosowaniu kuli o numerze większym lub równym 8.


Musimy obliczyć prawdopodobieństwo obu zdarzeń i ich części wspólnej:


Teraz podstawiamy do wzoru:



UWAGA: Gdy dwa zdarzenia losowe się wykluczają i w związku z tym ich część wspólna wynosi zero, prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest po prostu sumą prawdopodobieństw obu zdarzeń.

Prawdopodobieństwo różnicy dwóch zdarzeń
Obliczamy ze wzoru:



Oczywiście, gdy obliczamy prawdopodobieństwo różnicy B\A:


Dla wcześniej przedstawionego przykładu, gdzie:


Podstawiamy do wzoru:



UWAGA: Gdy dwa zdarzenia losowe się wykluczają i w związku z tym ich część wspólna wynosi zero, prawdopodobieństwo różnicy dwóch zdarzeń jest równe prawdopodobieństwu pierwszego zdarzenia

ZESTAWIENIE WZORÓW:

ZADANIA
Możemy wyróżnić zadania wyłącznie na wykorzystanie wzorów, oraz zadania z treścią, w których będziemy wykorzystywać wzory.

Zadania na wykorzystanie wzorów

Przykład 1.
Oblicz prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń losowych A i B, oraz prawdopodobieństwo różnicy B\A jeżeli:


Rozwiązanie:

Przykład 2.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego B, wiedząc, że zdarzenia A i B się wykluczają oraz:

Zadania z treścią
W zadaniach z treścią możemy, a nawet powinniśmy stosować wzory, tam gdzie jest to możliwe dla uproszczenia rozwiązania.

Przykład:
W pojemniku znajduje się 100 kul, zabarwionych barwami żółtą i niebieską (jedna kula może być zabarwiona obiema barwami na raz). Wiedząc, że 40 kul ma zabarwienie żółte, 60 zabarwienie niebieskie, a 15 zabarwienie dwukolorowe. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kulki o wyłącznie żółtym zabarwieniu.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania kulki o wyłącznie żółtym zabarwieniu wynosi 1/4 .