Matematyka - od podstaw do matury

WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
Matematyka – matura - funkcja kwadratowa: wykres funkcji kwadratowej

Jak już napisaliśmy – wykres funkcji kwadratowej ma specyficzny kształt paraboli.


UPROSZCZONY WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
W celu otrzymania uproszczonej wersji wykresu (mniej dokładnej), którą będziemy wykorzystywać między innymi w określaniu przedziałów monotoniczności, wystarczy znać współrzędne wierzchołka i wiedzieć, w którą stronę będą skierowane ramiona funkcji (w górę, czy w dół).

Ramiona paraboli będą skierowane w górę, gdy a > 0

Ramiona paraboli będą skierowane w dół , gdy a < 0

DOKŁADNY WYKRES FUNKCJI KWADRATOWEJ
Istnieją dwa podstawowe sposoby rysowania dokładnego wykresu funkcji kwadratowej:


SPOSÓB I
Rysujemy wykres funkcji bazując na kilku kluczowych punktach:
1) wierzchołek paraboli,
2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych),
3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
UWAGA: Gdy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych lub istnieje tylko jedno miejsce zerowe, potrzebujemy minimum dwóch punktów na lewo od wierzchołka i dwóch punktów na prawo.

Bezpośrednio, wszystkie wymienione elementy możemy obliczyć, mając do dyspozycji postać ogólną. Pozostałe postaci (iloczynowa i kanoniczna) mają też pewne zalety.

Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać ogólna
Obliczamy po kolei wymienione elementy. Następnie zaznaczamy wszystkie uzyskane punkty w układzie współrzędnych i od ręki łączymy je linią w kształcie paraboli.
Przykład:

Punkty przecięcia z osią 0X:






Punkt na lewo od miejsc zerowych:
Wybraliśmy argument -5:

Współrzędne punktu: (-5, -7)

Punkt na prawo od miejsc zerowych:
Wybraliśmy argument 3:

Współrzędne punktu: (3, -7)

Teraz możemy połączyć punkty linią w kształcie paraboli:

Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać iloczynowa.
Dokładny wykres paraboli uzyskujemy w ten sam sposób. Potrzebujemy tych samych kluczowych punktów.
Różnice:

1) wierzchołek paraboli. Współrzędnych wierzchołka nie obliczymy bezpośrednio z postaci iloczynowej. W tym celu musimy zapisać wzór funkcji za pomocą postaci ogólnej, a następnie korzystając z tej postaci, obliczamy współrzędne wierzchołka, tak jak zostało to wcześniej przedstawione.

2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych).
Nie musimy ich obliczać! Wystarczy je odczytać bezpośrednio z wzoru w postaci iloczynowej.
Przykład:

Punkty przecięcia z osią 0X:


3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
Możemy je obliczyć bezpośrednio z postaci iloczynowej, ale dla ułatwienia obliczeń zalecamy skorzystanie z postaci ogólnej.

Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej - postać kanoniczna.
Dokładny wykres paraboli uzyskujemy w ten sam sposób. Potrzebujemy tych samych kluczowych punktów.
Różnice:

1) wierzchołek paraboli. Nie obliczamy współrzędnych wierzchołka funkcji kwadratowej. Można je bezpośrednio odczytać ze wzoru:
Przykład:


2) punkty przecięcia z osią 0X (punkty dla miejsc zerowych).
Miejsc zerowych nie obliczamy bezpośrednio z postaci kanonicznej. W tym celu musimy zapisać wzór funkcji za pomocą postaci ogólnej, a następnie korzystając z tej postaci, obliczamy miejsca zerowe, tak jak zostało to wcześniej przedstawione.

3) parę dodatkowych punktów – minimum dwa – jeden dla jakiegoś argumentu położonego na lewo od miejsc zerowych, drugi położony na prawo.
Możemy je obliczyć bezpośrednio z postaci kanonicznej, ale dla ułatwienia obliczeń zalecamy skorzystanie z postaci ogólnej.

SPOSÓB II
Tym sposobem posługujemy się korzystając wyłącznie z postaci kanonicznej!
Przykład:

Rysowanie wykresu funkcji tym sposobem, składa się z dwóch podstawowych kroków:

1) Rysujemy wykres prostszej funkcji (pozbawionej współrzędnych wierzchołków).
W naszym przykładzie eliminujemy więc:


Otrzymujemy w ten sposób najprostszy przypadek funkcji kwadratowej. Wykres funkcji kwadratowej składający się wyłącznie z jednego wyrażenia, jest parabolą, której wierzchołek znajduje się zawsze w początku układu współrzędnych.



Dodatkowo obliczamy po dwa punkty, znajdujące się na lewo i na prawo od początku układu współrzędnych:
Wybraliśmy:

Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i łączymy je linią w kształcie paraboli:

1) Przesuwamy wykres funkcji o wektor.

Wektor przesunięcia:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)