Matematyka - od podstaw do matury

ZAMIANA SUMY NA ILOCZYN
Matematyka – matura - zamiana sumy na iloczyn

Zamiana sumy na iloczyn za pomocą wzorów skróconego mnożenia:

W dziale PODSTAWY mieliśmy już do czynienia ze zamianą sumy na iloczyn, ale wyłącznie poprzez wystawianie przed nawias (PODSTAWY – wyrażenia algebraiczne – wyłączanie przed nawias).
W zakresie maturalnym, konieczna jest umiejętność zamiany sumy na iloczyn za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

W tym celu wykorzystujemy dwa ostatnie wzory skróconego mnożenia (tak jak pokazaliśmy to na przykładach w poprzednim podrozdziale) oraz wszystkie pozostałe wzory stosowane „w drugą stronę”:

Proces przekształcania sumy na iloczyn możemy podzielić na trzy podstawowe kroki:
1) Ustalamy z którego wzoru będziemy korzystać. Za pomocą danego wzoru możemy się „cofnąć” tylko wtedy, gdy liczba wyrażeń w podanej sumie oraz wszystkie znaki są takie same, jak wynika to z rozpatrywanego wzoru skróconego mnożenia. Może się również okazać, że podana suma wyrażeń algebraicznych nie pasuje do żadnego wzoru. Wtedy nie jest możliwa jej zamiana na iloczyn za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
2) Korzystamy z wybranego wzoru w „drugą stronę”. Ustalamy wyrażenia „a” i „b”, skupiając się jedynie na pierwszym i ostatnim wyrażeniu z danej sumy.
3) Sprawdzamy czy pozostałe wyrażenia z podanej sumy mają odpowiednie wartości. Jeżeli środkowe wyrażenia się nie zgadzają, oznacza to, że danej sumy nie możemy zamienić na iloczyn wzorami skróconego mnożenia.

Jak działa to w praktyce, przedstawimy na paru przykładach:

Przykład 1.



Przykład 2.



Przykład 3.



Przykład 4.

Zamiana sumy na iloczyn za pomocą grupowania wyrażeń:

Jest to trzeci, obok wystawiania przed nawias i wzorów skróconego mnożenia, sposób zamiany sumy na iloczyn. Sięgamy po niego, gdy nie możemy zastosować dwóch pierwszych sposobów. Nie oznacza to wcale, że jest to narzędzie uniwersalne. Istnieją takie zapisy wyrażeń algebraicznych, których nie można wcale zamienić na iloczyn (gdy nie możemy zastosować żadnego z tych trzech sposobów).

Warunkiem podstawowym do sięgania po ten sposób jest liczba wyrażeń w sumie. Minimalnie powinno być ich cztery, a ponadto ich liczba musi być parzysta (4, 6, 8 . . .). Na poziomie maturalnym nie spotkamy się raczej z sumą wyrażeń, których jest więcej niż cztery. Wyrażenia, które możemy przekształcić poprzez grupowanie, zawierają zazwyczaj jedną zmienną (symbol literowy). Na tym etapie nauki nie pojawiają się raczej bardziej skomplikowane przypadki.

Gdy powyższy warunek jest spełniony, grupujemy wyrażenia w pary. Nie dobieramy ich dowolnie. Różnica potęg w każdej parze musi być taka sama (w przypadku uszeregowanych wyrażeń od największej do najmniejszej potęgi, grupujemy pierwsze wyrażenie z drugim, trzecie z czwartym itd.). Szczegółowy sposób postępowania przedstawimy na przykładzie:

Jeżeli po zgrupowaniu wyrażeń i dokonaniu wystawienia przed nawias w każdej parze, otrzymamy różne wyrażenia w nawiasach, to nie jest możliwe uzyskanie ostatecznego wyniku, a więc zamiany sumy na iloczyn, za pomocą grupowania. Zdarzają się jednak takie sytuacje, gdzie można coś jeszcze zrobić! Dotyczy to przypadków, w których uzyskane w nawiasach wyrażenia, różnią się jedynie znakami.
Przykład:

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)