Matematyka - od podstaw do matury

Szukaj

Idź do treści

Własności funkcji wymiernej - matematyka, matura

MATERIAŁ MATURALNY > funkcja wymierna

FUNKCJA WYMIERNA – własności


Dla funkcji wymiernej powinniśmy umieć określić następujące własności:
1) dziedzina funkcji,
2) zbiór wartości,
3) monotoniczność,
4) miejsce zerowe,
5) asymptoty.

Własności funkcji będziemy określać, opierając się głównie na jej wykresie. Dziedzinę i miejsce zerowe powinniśmy potrafić określić, korzystając ze wzoru. Dlatego od tych dwóch własności zaczniemy.

Określanie własności przedstawimy dla przykładu:


1) dziedzina funkcji

Określamy ją tak jak dziedzinę wyrażeń wymiernych:



2) miejsce zerowe
Obliczamy w tradycyjny sposób podstawiając za y wartość zero. W efekcie mamy do rozwiązania równanie wymierne.

UWAGA: Należy pamiętać, że w przypadku funkcji wymiernej miejsce zerowe nie zawsze istnieje. Gdy mamy do dyspozycji wykres funkcji widać to od raz – wykres w żadnym miejscu nie przecina osi 0X (oś jest asymptotą funkcji).
Określając miejsce zerowe za pomocą wzoru, także możemy to stwierdzić bez obliczeń.
We wzorze funkcji niemającej miejsca zerowego, brak liczby odpowiedzialnej za przesuwanie wykresu w pionie (w górę lub w dół).
Przykład:

Gdybyśmy próbowali obliczyć miejsce zerowe, równanie które byśmy otrzymali, okazałoby się sprzeczne (brak rozwiązań), co również oznaczałoby brak miejsca zerowego.

Brak miejsc zerowych.



W celu określenia pozostałych własności funkcji, rysujemy wykres, tak jak przedstawiliśmy to w poprzednim podrozdziale.
Dla rozpatrywanego przykładu:


3) zbiór wartości


Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych, z wyłączeniem jednej wartości – w miejscu asymptoty poziomej.
Dla rozpatrywanego przykładu jest to wartość -4:


UWAGA: Dziedzinę możemy alternatywnie wyznaczyć w ten sam sposób, odczytując z wykresu. Wcześniej przedstawiliśmy,jak określić ją na podstawie wzoru. Odczytując z wykresu, z dziedziny eliminujemy argument w miejscu asymptoty pionowej (-3):


4) monotoniczność

Wykres funkcji wymiernej składa się z dwóch części. Są to dwa przedziały, określone przez dziedzinę.
Dziedzina rozpatrywanej funkcji:

Stąd mamy przedziały:

Konkretna funkcja jest w obu przedziałach malejąca lub w obu przedziałach rosnąca.
Rozpatrywana funkcja jest w obu przedziałach malejąca.



5) asymptoty
Miejsce asymptot w układzie współrzędnych ustalamy już na etapie rysowania wykresu, co przedstawiliśmy w poprzednim podrozdziale.
Dla rozpatrywanego przykładu:
- asymptota pozioma: y = -4,
- asymptota pionowa:
x = -3.


Powrót do treści | Wróć do menu głównego