Matematyka - od podstaw do matury

POSTACI FUNKCJI LINIOWEJ
Matematyka – matura - geometria analityczna (funkcja liniowa): postaci funkcji liniowej, postać ogólna, kierunkowa, odcinkowa

W dziale „podstawy” (PODSTAWY – funkcje – funkcja liniowa – wykres oraz funkcja liniowa – własności) przedstawione zostały podstawowe informacje na temat funkcji liniowej. Między innymi wzór postaci kierunkowej. Istnieją jeszcze dwie postaci, za pomocą których przedstawiamy funkcję liniową: postać ogólna oraz postać odcinkowa. Z pośród tych trzech postaci najważniejsza jest postać już wcześniej omawiana – postać kierunkowa.
Zaczniemy od przypomnienia postaci kierunkowej:


Postać kierunkowa:

Szczególnie ważny w postaci kierunkowej jest współczynnik kierunkowy (a), który decyduje o monotoniczności funkcji (gdy jest dodatni, funkcja jest rosnąca; ujemny - malejąca; gdy wynosi zero, to funkcja jest stała).
Przykład:
y = 4x - 5


Postać ogólna:

Współczynniki liczbowe w postaci ogólnej (A, B i C) nie niosą ze sobą żadnej ważnej informacji.
Przykład:
-2x + y - 8 = 0


*Postać odcinkowa:

(Znajomość tej postaci, nie jest wymagana na maturze podstawowej, aczkolwiek niektórzy nauczyciele w liceum, wymagają jej znajomości).

UWAGA: Współczynnik b, jest dla danej funkcji taki sam, jak współczynnik b w postaci kierunkowej, ale współczynnik a już nie!

Ta postać ma istotną zaletę. Współczynnik a to miejsce zerowe, a więc jednocześnie współrzędna „x” punktu przecięcia z osią 0X („y” wynosi zero). Współczynnik b to współrzędna „y” punkty przecięcia z osią 0Y („x” wynosi zero).
Przykład:


Ponadto, skoro bezpośrednio ze wzoru funkcji możemy odczytać jej dwa punkty, narysowanie wykresu funkcji nie wymaga dodatkowych obliczeń. Dwa punkty wystarczą. Zaznaczamy je w układzie współrzędnych i łączymy prostą.
Dla rozpatrywanego przykładu:

Zamiana jednej postaci funkcji na inną

Z kierunkowej na ogólną i odcinkową

Aby zamienić postać kierunkową na ogólną wystarczy ją przekształcić. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę i zapisujemy w określonej kolejności, wymaganej dla postaci ogólnej (wyrażenie z „x” – wyrażenie z „y” – liczba). Po prawej stronie zostaje zero.
Przykład:


Aby zamienić postać kierunkową na odcinkową, także można tego dokonać za pomocą przekształceń. Składa się to jednak z kilku czynności i łatwo tu o pomyłkę. Zdecydowanie łatwiej skorzystać w tym miejscu ze wzorów:
- b w postaci odcinkowej jest takie samo, jak b w postaci kierunkowej,
- a w postaci odcinkowej wynosi:


Dla rozpatrywanego przykładu:

Stąd postać odcinkowa:

Z ogólnej na kierunkową i odcinkową

Aby postać ogólną zamienić na kierunkową, wystarczy ją przekształcić. Przenosimy na prawo wyrażenie z „x” oraz liczbę (zapisujemy w kolejności: wyrażenie z „x” – liczba). Gdy przed „y” znajduje się jakaś liczba, należy jeszcze otrzymane równanie, podzielić przez tą liczbę.
Przykład:


Istnieją wzory umożliwiające zamianę postaci ogólnej na odcinkową, jednak nie będziemy ich podawać. Byłyby to dwa dodatkowe wzory do zapamiętania, które nie przydałyby się w żadnej innej sytuacji. Aby zamienić postać ogólną na odcinkową, najłatwiej zamienić ją najpierw na kierunkową, a następnie dokonać zamiany na odcinkową, zgodnie z wcześniej przedstawionym schematem (z kierunkowej na odcinkową).

Z odcinkowej na kierunkową i ogólną
Mając daną postać odcinkową, możemy skorzystać ze wzorów, wykorzystywanych w celu zamiany postaci kierunkowej na odcinkową (kilka akapitów powyżej). Najpierw będziemy zamieniać postać odcinkową na kierunkową, a następnie z postaci kierunkowej na ogólną.
Przykład:


Współczynniki w postaci kierunkowej:


Mając „a” oraz „b”, możemy zapisać funkcję za pomocą postaci kierunkowej.



Gdy mamy już otrzymaną postać kierunkową, możemy przekształcić wzór do postaci ogólnej, co zostało wcześniej przedstawione.

W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)