Matematyka - od podstaw do matury

WŁASNOŚCI WIELOKĄTÓW

Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180° i nie ma on żadnych przekątnych, a suma miar kątów w czworokącie wynosi 360° i ma on dwie przekątne. Aby ustalić sumę miar kątów wewnętrznych i liczbę przekątnych wielokątów o większej liczbie boków, musimy skorzystać ze wzorów.
W obu wzorach: n jest liczbą boków danego wielokąta. Przykładowo, dla ośmiokąta „n” wynosi 8.

Wzór na liczbę przekątnych wielokąta:

Wzór na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta:

Przykład:
Obliczymy liczbę przekątnych i sumę miar kątów wewnętrznych dwunastokąta.

- liczba przekątnych:

- suma miar kątów wewnętrznych:

Z obu wzorów możemy oczywiście korzystać w „drugą stronę”. To znaczy mając daną liczbę przekątnych lub sumę miar kątów wewnętrznych, możemy obliczyć z jakim wielokątem mamy do czynienia.

Przykład 1.
Liczba przekątnych pewnego wielokąta wynosi 35. Jaki to wielokąt?
Aby ustalić, z jakim wielokątem mamy do czynienia, należy obliczyć „n”. Wykorzystujemy wzór na liczbę przekątnych, ponieważ tę wielkość mamy podaną:

Obliczamy powstałe równanie:

Odpowiedź: Szukanym wielokątem jest dziesięciokąt.

Przykład 2.
Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi . Jaki to wielokąt?
Wykorzystujemy wzór na sumę miar kątów wewnętrznych, ponieważ tą wielkość mamy podaną:


Odpowiedź: Szukanym wielokątem jest siedmiokąt.

Wielokąty foremne
Wielokąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary. Obowiązują go oba wcześniej przedstawione wzory (na liczbę przekątnych i sumę miar kątów wewnętrznych).
Dodatkowo możemy obliczyć miarę jednego kąta wielokąta foremnego.
Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego:

Powyższy wzór wykorzystujemy w ten sam sposób, co oba wcześniej podane wzory.

Sześciokąt foremny.
To ważny wielokąt. Powinniśmy znać jego własności i wzór na pole.

Gdy w sześciokącie foremnym poprowadzimy przekątne, podzielimy go na sześć trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta.

Z powyższej własności wynika wzór na pole sześciokąta foremnego. Pole sześciokąta jest równe polu sześciu trójkątów równobocznych:

Stąd, po wykonaniu skracania liczb 6 i 4: